Curvas elípticas¶

Aritmética con curvas elípticas.

Este módulo permite operar con el grupo de puntos de una curva elíptica.

Para utilizar las funciones y las clases de este módulo, debe importarlo previamente:

# reemplace ... por la función/clase que desea utilizar
from ccepy.curvas_elipticas import ...

Para operar con puntos de una curva elíptica, use las funciones de la forma curva_eliptica_sobre_* y los operadores aritméticos habituales.

>>> E = curva_eliptica_sobre_Fq(a=2, b=3, p=97)  # y^2 = x^3 + 2x + 3 sobre F97
>>> E.coeficientes
Coeficientes(a=2, b=3)
>>> P = E(0, 10)
>>> P
(0,10)
>>> Q = E(3, 6)
>>> Q
(3,6)
>>> P + Q
(85,71)
>>> -P
(0,87)
>>> 3 * P
(23,24)

Lista de funciones y clases de curvas_elipticas:

`curva_eliptica_sobre_Fq`	Devuelve el constructor de puntos de una curva elíptica sobre un cuerpo finito de q elementos de característica distinta de 2 y 3.
`PuntoFqRacional`	Representa un punto de una curva elíptica sobre un cuerpo finito de q elementos de característica distinta de 2 y 3.
`curva_eliptica_sobre_F2m`	Devuelve el constructor de puntos de una curva elíptica sobre el cuerpo finito de 2**m elementos.
`PuntoF2mRacional`	Representa un punto de una curva elíptica sobre el cuerpo finito de 2**m elementos.
`curva_eliptica_sobre_Q`	Devuelve el constructor de puntos de una curva elíptica sobre los números racionales.
`PuntoQRacional`	Representa un punto de una curva elíptica sobre los números racionales.
`PuntoRacional`	Clase abstracta que representa un punto racional de una curva elíptica.

curva_eliptica_sobre_Fq(a, b, p, n=1, pol_irreducible=None)[fuente]¶

Devuelve el constructor de puntos de una curva elíptica sobre un cuerpo finito de q elementos de característica distinta de 2 y 3.

>>> E = curva_eliptica_sobre_Fq(1, 1, 5, 2)  # y^2 = x^3 + x + 1 sobre F25
>>> E
<class 'ccepy.curvas_elipticas.curva_eliptica_sobre_Fq.<locals>.PuntoFqRacional'>
>>> E(0, 1)
({[0, 0]; 25},{[1, 0]; 25})

Los dos primeros argumentos (a, b) son los coeficientes de la ecuación de Weierstrass simplificada: \(y^2 = x^3 + a x + b\). Estos valores pueden ser bien de tipo int o bien de tipo EnteroModuloP o ElementoFq según sea n uno o mayor que uno respectivamente.

Los tres últimos argumentos (p, n, pol_irreducible) definen el cuerpo finito de p**n elementos sobre el que se define la curva eliptipca.

Tipo del valor devuelto:
Parámetros:	a – el coeficiente que acompaña a x en la ecuación de Weierstrass b – el término independiente de la ecuación de Weierstrass p (int) – un número primo. n (Optional[int]) – un número natural. pol_irreducible (Optional[PolinomioZp]) – un polinomio de grado n irreducible.
Devuelve:	la clase que representa los puntos de la curva elíptica.
	PuntoFqRacional

class PuntoFqRacional(x, y)[fuente]¶

Representa un punto de una curva elíptica sobre un cuerpo finito de q elementos de característica distinta de 2 y 3.

>>> E = curva_eliptica_sobre_Fq(1, 1, 5, 2)  # y^2 = x^3 + x + 1 sobre F25
>>> F25 = Fq(5, 2)
>>> P = E(F25.cero(), F25.uno())
>>> type(P)
<class 'ccepy.curvas_elipticas.curva_eliptica_sobre_Fq.<locals>.PuntoFqRacional'>
>>> P
({[0, 0]; 25},{[1, 0]; 25})
>>> Q = E(F25([4, 0]), F25([2, 0]))
>>> Q
({[4, 0]; 25},{[2, 0]; 25})
>>> P + Q
({[2, 0]; 25},{[1, 0]; 25})
>>> -P
({[0, 0]; 25},{[4, 0]; 25})
>>> 4 * P
({[3, 0]; 25},{[4, 0]; 25})

La curva elíptica está definida por la ecuación de Weierstrass simplificada \(y^2 = x^3 + a x + b\).

Soporta los operadores +, -, * con su significado habitual.

Los parámetros x, y deben ser del tipo EnteroModuloP o ElementoFq según el cuerpo finito tenga un número primo de elementos o un número potencia de un primo de elementos. Para construir elementos de estos tipos, utilice Fq().

Parámetros:	x – un elemento del cuerpo finito de q elementos. y – un elemento del cuerpo finito de q elementos.

Los elementos de coeficientes y discriminante serán del tipo EnteroModuloP o ElementoFq según el cuerpo finito tenga un número primo de elementos o un número potencia de un primo de elementos.

coeficientes¶: Tuple – los coeficientes (a, b) de la ecuación de Weierstrass. (atributo de clase)

discriminante¶: El discriminate de la curva elíptica. (atributo de clase)

Fq¶: El constructor de elementos del cuerpo finito de q elementos. (atributo de clase)

classmethod contiene(x, y)[fuente]¶

Comprueba si el punto (x, y) pertenece a la curva elíptica.

Tipo del valor devuelto:
Parámetros:	a – un elemento del cuerpo finito de q elementos. b – un elemento del cuerpo finito de q elementos.
Devuelve:	verdadero o falso.
	bool

elemento_neutro()¶

Devuelve el elemento neutro.

Devuelve:	El elemento neutro.

es_elemento_neutro()¶

Comprueba si es el elemento neutro (el punto del infinito).

Tipo del valor devuelto:
Devuelve:	verdadero o falso.
	bool

x¶: La componente x del punto si no es el elemento neutro. Es un atributo de solo lectura.

y¶: La componente y del punto si no es el elemento neutro. Es un atributo de solo lectura.

curva_eliptica_sobre_F2m(a, b, m, pol_irreducible=None)[fuente]¶

Devuelve el constructor de puntos de una curva elíptica sobre el cuerpo finito de 2**m elementos.

>>> pol_irreducible = PolinomioZp([1, 1, 0, 0, 1], p=2)
>>> F16 = Fq(2, 4, pol_irreducible)
>>> a = F16([0, 0, 0, 1])
>>> b = F16([1, 0, 0, 1])
>>> E = curva_eliptica_sobre_F2m(a, b, 4, pol_irreducible)
>>> E
<class 'ccepy.curvas_elipticas.curva_eliptica_sobre_F2m.<locals>.PuntoF2mRacional'>
>>> E(F16.uno(), F16.uno())
({[1, 0, 0, 0]; 16},{[1, 0, 0, 0]; 16})

Los dos primeros argumentos (a, b) son los coeficientes de la ecuación de Weierstrass simplificada: \(y^2 + x y = x^3 + a x^2 + b\). Estos valores pueden ser bien de tipo int o bien de tipo EnteroModuloP o ElementoFq según sea n uno o mayor que uno respectivamente.

Los dos últimos argumentos (m, pol_irreducible) definen el cuerpo finito de 2**m elementos sobre el que se define la curva eliptipca.

Tipo del valor devuelto:
Parámetros:	a – el coeficiente que acompaña a x^2 en la ecuación de Weierstrass b – el término independiente de la ecuación de Weierstrass m ([int]) – un número natural. pol_irreducible (Optional[PolinomioZp]) – un polinomio de grado m irreducible.
Devuelve:	la clase que representa los puntos de la curva elíptica.
	PuntoF2mRacional

class PuntoF2mRacional(x, y)[fuente]¶

Representa un punto de una curva elíptica sobre el cuerpo finito de 2**m elementos.

>>> pol_irreducible = PolinomioZp([1, 1, 0, 0, 1], p=2)
>>> F16 = Fq(2, 4, pol_irreducible)
>>> a = F16([0, 0, 0, 1])
>>> b = F16([1, 0, 0, 1])
>>> E = curva_eliptica_sobre_F2m(a, b, 4, pol_irreducible)
>>> E.coeficientes
Coeficientes(a={[0, 0, 0, 1]; 16}, b={[1, 0, 0, 1]; 16})
>>> P = E(F16([0, 1, 0, 0]), F16([1, 1, 1, 1]))
>>> type(P)
<class 'ccepy.curvas_elipticas.curva_eliptica_sobre_F2m.<locals>.PuntoF2mRacional'>
>>> P
({[0, 1, 0, 0]; 16},{[1, 1, 1, 1]; 16})
>>> Q = E(F16([0, 0, 1, 1]), F16([0, 0, 1, 1]))
>>> Q
({[0, 0, 1, 1]; 16},{[0, 0, 1, 1]; 16})
>>> P + Q
({[1, 0, 0, 0]; 16},{[1, 0, 0, 0]; 16})
>>> -P
({[0, 1, 0, 0]; 16},{[1, 0, 1, 1]; 16})
>>> 2 * P
({[1, 1, 0, 1]; 16},{[0, 1, 0, 0]; 16})

La curva elíptica está definida por la ecuación de Weierstrass simplificada \(y^2 + x y = x^3 + a x^2 + b\).

Soporta los operadores +, -, * con su significado habitual.

Los parámetros x, y deben ser del tipo EnteroModuloP o ElementoFq según m sea uno o mayor que uno. Para construir elementos de estos tipos, utilice Fq().

Parámetros:	x – un elemento del cuerpo finito de 2m elementos. y – un elemento del cuerpo finito de 2m elementos.

Los elementos de coeficientes y discriminante serán del tipo EnteroModuloP o ElementoFq según m sea uno o mayor que uno.

coeficientes¶: Tuple – los coeficientes (a, b) de la ecuación de Weierstrass. (atributo de clase)

discriminante¶: El discriminate de la curva elíptica. (atributo de clase)

Fq¶: El constructor de elementos del cuerpo finito de 2**m elementos. (atributo de clase)

classmethod contiene(x, y)[fuente]¶

Comprueba si el punto (x, y) pertenece a la curva elíptica.

Tipo del valor devuelto:
Parámetros:	a – un elemento del cuerpo finito de 2m elementos. b – un elemento del cuerpo finito de 2m elementos.
Devuelve:	verdadero o falso.
	bool

elemento_neutro()¶

Devuelve el elemento neutro.

Devuelve:	El elemento neutro.

es_elemento_neutro()¶

Comprueba si es el elemento neutro (el punto del infinito).

Tipo del valor devuelto:
Devuelve:	verdadero o falso.
	bool

x¶: La componente x del punto si no es el elemento neutro. Es un atributo de solo lectura.

y¶: La componente y del punto si no es el elemento neutro. Es un atributo de solo lectura.

curva_eliptica_sobre_Q(a, b)[fuente]¶

Devuelve el constructor de puntos de una curva elíptica sobre los números racionales.

>>> E = curva_eliptica_sobre_Q(0, 4)  # y^2 = x^3 + 4 sobre Q
>>> E
<class 'ccepy.curvas_elipticas.curva_eliptica_sobre_Q.<locals>.PuntoQRacional'>
>>> E(0, -2)
(0,-2)

Los argumentos (a, b) son los coeficientes de la ecuación de Weierstrass simplificada: \(y^2 = x^3 + a x + b\). Estos valores pueden ser bien de tipo int o bien de tipo fractions.Fraction.

Tipo del valor devuelto:
Parámetros:	a – el coeficiente que acompaña a x en la ecuación de Weierstrass b – el término independiente de la ecuación de Weierstrass
Devuelve:	la clase que representa los puntos de la curva elíptica.
	PuntoQRacional

class PuntoQRacional(x, y)[fuente]¶

Representa un punto de una curva elíptica sobre los números racionales.

>>> E = curva_eliptica_sobre_Q(-18, -72)  # y^2 = x^3 - 18 * x - 72 sobre Q
>>> P = E(6, 6)
>>> type(P)
<class 'ccepy.curvas_elipticas.curva_eliptica_sobre_Q.<locals>.PuntoQRacional'>
>>> P
(6,6)
>>> Q = E(Fraction(177, 4), Fraction(-2343, 8))
>>> Q
(177/4,-2343/8)
>>> P + Q
(28102/2601,4183750/132651)
>>> -P
(6,-6)
>>> 4 * P
(111795513/9759376,-1067078260371/30488290624)

La curva elíptica está definida por la ecuación de Weierstrass simplificada \(y^2 = x^3 + a x + b\).

Soporta los operadores +, -, * con su significado habitual.

Los parámetros x, y deben ser del tipo int o fractions.Fraction.

Parámetros:	x – un número racional. y – un número racional.

Los elementos de coeficientes y discriminante serán del tipo int o fractions.Fraction según se haya llamado a curva_eliptica_sobre_Q().

coeficientes¶: Tuple – los coeficientes (a, b) de la ecuación de Weierstrass. (atributo de clase)

discriminante¶: El discriminate de la curva elíptica. (atributo de clase)

classmethod contiene(x, y)[fuente]¶

Comprueba si el punto (x, y) pertenece a la curva elíptica.

Tipo del valor devuelto:
Parámetros:	a – un número racional. b – un número racional.
Devuelve:	verdadero o falso.
	bool

elemento_neutro()¶

Devuelve el elemento neutro.

Devuelve:	El elemento neutro.

es_elemento_neutro()¶

Comprueba si es el elemento neutro (el punto del infinito).

Tipo del valor devuelto:
Devuelve:	verdadero o falso.
	bool

x¶: La componente x del punto si no es el elemento neutro. Es un atributo de solo lectura.

y¶: La componente y del punto si no es el elemento neutro. Es un atributo de solo lectura.

class PuntoRacional(x, y)[fuente]¶

Clase abstracta que representa un punto racional de una curva elíptica. El resto de las clases Punto*Racional heredan de esta.

Esta clase no se puede instanciar. Sirve como punto de partida para crear curvas elípticas sobre nuevos cuerpos.