Aritmética elemental¶

Aritmética elemental con enteros y polinomios.

Este módulo permite operar con enteros módulo un primo p y polinomios cuyos coeficientes sean enteros módulo un primo p.

Para utilizar las funciones y las clases de este módulo, debe importarlo previamente:

# reemplace ... por la función/clase que desea utilizar
from ccepy.aritmetica_elemental import ...

Para operar con enteros módulo un primo p, use la función Zp() y los operadores aritméticos habituales.

>>> Z7 = Zp(7)
>>> n, m = Z7(2), Z7(6)
>>> n
2
>>> m
6
>>> n + m
1
>>> n * m
5
>>> m ** (-1)
6

Para operar con polinomios con coeficientes enteros módulo un primo p, use la función PolinomioZp() y los operadores aritméticos habituales.

>>> f = PolinomioZp([0, 0, 1], p=2)
>>> f
X^2
>>> g = PolinomioZp([1, 1], p=2)
>>> g
X + 1
>>> f + g
X^2 + X + 1
>>> f * g
X^3 + X^2
>>> f ** 3
X^6

Lista de funciones y clases de aritmetica_elemental:

Zp(p)[fuente]¶

Devuelve el constructor de enteros módulo un primo p.

>>> Z2 = Zp(2)
>>> Z2
<class 'ccepy.aritmetica_elemental.Zp.<locals>.EnteroModuloP'>
>>> Z2(11)  # 11 mod 2
1

Parámetros:	p (int) – un número primo.
Devuelve:	la clase que representa los enteros módulo un primo p.
Tipo del valor devuelto:
	EnteroModuloP

class EnteroModuloP(entero)[fuente]¶

Representa un entero módulo un primo p.

>>> Z7 = Zp(7)
>>> n, m = Z7(2), Z7(6)
>>> type(n)
<class 'ccepy.aritmetica_elemental.Zp.<locals>.EnteroModuloP'>
>>> n
2
>>> m
6
>>> n + m
1
>>> n * m
5
>>> m ** (-1)
6

Soporta los operadores +, -, *, / y ** con su significado habitual.

Los operandos pueden ser ambos de tipo EnteroModuloP o bien uno de tipo EnteroModuloP y otro de tipo int. En ambos casos el resultado será de tipo EnteroModuloP.

Parámetros:	entero (int) – el valor del entero.

p¶

int – el primo p (atributo de clase).

classmethod cero()[fuente]¶

Devuelve el cero.

Devuelve:	el cero.
Tipo del valor devuelto:
	EnteroModuloP

classmethod uno()[fuente]¶

Devuelve el uno.

Devuelve:	el uno.
Tipo del valor devuelto:
	EnteroModuloP

inverso()[fuente]¶

Devuelve el inverso módulo p.

>>> Z7 = Zp(7)
>>> Z7(6).inverso()
6

Devuelve:	el inverso.
Tipo del valor devuelto:
	EnteroModuloP

class PolinomioZp(coeficientes, p)[fuente]¶

Representa un polinomio con coeficientes enteros módulo un primo p.

>>> f = PolinomioZp([0, 0, 1], p=2)
>>> f
X^2
>>> g = PolinomioZp([1, 1], p=2)
>>> g
X + 1
>>> f + g
X^2 + X + 1
>>> f * g
X^3 + X^2
>>> f ** 3
X^6

Soporta los operadores +, -, *, /, % y ** con su significado habitual.

Los operandos pueden ser ambos de tipo PolinomioZp o bien uno de tipo PolinomioZp y otro de tipo int. En ambos casos el resultado será de tipo PolinomioZp.

Parámetros:	coeficientes (List[int]) – los coeficientes del polinomio ordenados de forma ascendente, esto es, el primero el término constante y el último el coeficiente líder. p (int) – el primo p.

coeficientes¶

List[EnteroModuloP] – los coeficientes del polinomio ordenados de forma ascendente, esto es, el primero es el término constante y el último el coeficiente líder. Es un atributo de solo lectura.

primo()[fuente]¶

Devuelve el primo p.

classmethod monomio(coef, grado, p)[fuente]¶

Devuelve el monomio con coeficiente coef y de grado grado.

>>> PolinomioZp.monomio(-1, 7, 2)
X^7

Parámetros:	coef (int) – el coeficiente líder del monomio. grado (int) – el exponente del monomio.
Devuelve:	el monomio con dicho coeficiente y grado.
Tipo del valor devuelto:
	PolinomioZp

grado()[fuente]¶

Devuelve el grado del polinomio.

>>> f = PolinomioZp([1, 0, 0, 1], p=2)
>>> f
X^3 + 1
>>> f.grado()
3

El grado puede ser:

• - math.inf : si el polinomio es el polinomio cero.
• n : si el término lider tiene exponente n.

Devuelve:	el grado del polinomio.
Tipo del valor devuelto:
	int

coeficiente_lider()[fuente]¶

Devuelve el coeficiente asociado al término de mayor exponente.

>>> f = PolinomioZp([2, 0, 0, 1], p=3)
>>> f
X^3 + 2
>>> f.coeficiente_lider()
1

Devuelve:	el coeficiente asociado al mayor exponente.
Tipo del valor devuelto:
	EnteroModuloP

es_irreducible()[fuente]¶

Comprueba si el polinomio es irreducible.

>>> f = PolinomioZp([1, 0, 1, 1], p=2)
>>> f
X^3 + X^2 + 1
>>> f.es_irreducible()
True

Devuelve:	verdadero o falso.
Tipo del valor devuelto:
	bool

classmethod genera_irreducible(grado, p)[fuente]¶

Devuelve un polinomio irreducible de dicho grado con coeficientes módulo p.

>>> f = PolinomioZp.genera_irreducible(3, 2)
>>> f.es_irreducible()
True

Devuelve:	el polinomio irreducible.
Tipo del valor devuelto:
	PolinomioZp

alg_euclides(a, b)[fuente]¶

Calcula el algoritmo extendido de Euclides para enteros.

Esto es, los (x, y, d) tal que \(a x + b y = d\), siendo d el máximo común divisor de (a, b).

>>> alg_euclides(54, 24)
(1, -2, 6)

Parámetros:	a (int) – un número positivo. b (int) – otro número positivo.
Devuelve:	la lista [x, y, d].
Tipo del valor devuelto:
	List[int]

alg_euclides_polinomios(g, h, p)[fuente]¶

Calcula el algoritmo extendido de Euclides para polinomios.

Esto es, los (s, t, d) tal que \(s g + t h = d\), siendo d el máximo común divisor mónico de (s, g).

>>> f = PolinomioZp([0, 0, 0, 1], p=2)
>>> f
X^3
>>> g = PolinomioZp([1, 0, 1, 1], p=2)
>>> g
X^3 + X^2 + 1
>>> alg_euclides_polinomios(f, g, p=2)
(X^2 + X + 1, X^2 + 1, 1)

Parámetros:	g (PolinomioZp) – un polinomio no nulo con coeficientes enteros módulo p. h (PolinomioZp) – otro polinomio con coeficientes enteros módulo p. p (int) – el primo p.
Devuelve:	la lista [s, t, d].
Tipo del valor devuelto:
	List[PolinomioZp]